Introducción al modelo ANOVA de dos vías
Gerardo Martín
9/3/2021
1 Introducción
En la 2\(^a\) unidad de este curso vimos varias maneras de hacer análisis de varianza donde la variable de respuesta depende sólamente de un criterio de clasificación con tantos niveles como sea posible. Estos diseños experimentales son relativamente sencillos, sin embargo el mundo es muy complejo y a veces nos interesa entender cómo dos o más factores con niveles categóricos afectan nuestro objeto de estudio. El modelo estadístico para probar hipótesis relacionadas con los efectos de dos o más factores es el ANOVA de dos vías.
Veamos un ejemplo basado en la aplicación de fertilizantes y herbicidas. Supongamos que tenemos dos fertilizantes y dos herbicidas diferentes, por lo que nos interesa conocer qué combinación de ellos es más eficaz. Entonces para comenzar este estudio es necesario asegurarnos de que las unidades experimentales y observacionales cubran todas las combinaciones posibles de fertilizante y herbicida:
| Fertilizante | Herbicida |
|---|---|
| A | a |
| B | a |
| A | b |
| B | b |
Y si tuvieramos tres fertilizantes y dos herbicidas, las combinaciones serían:
| Fertilizante | Herbicida |
|---|---|
| A | a |
| B | a |
| C | a |
| A | b |
| B | b |
| C | b |
Se puede apreciar entonces cómo el número de tratamientos totales crece mucho en función de los niveles de cada factor adicional que introducimos en el experimento: \(N_{tratamiento\ 1} \times N_{tratamiento\ 2}\).
Figure 1.1: Esquema de un estudio factorial y las combinaciones posibles de dos fatores con tres y cuatro tratamientos cada uno.
Este tipo de estudios también recibe el nombre de factoriales. En el modelo estadístico para el análisis de estos experimentos es necesario tomar en cuenta que ambos factores pueden interactuar, afectando uno el efecto del otro. Las interacciones estadísticas en R se especifican de manera sencilla en las fórmulas de los modelos con el operador *. El significado de este operador en una fórmula de modelo es:
x1 * x2 = x1 + x2 + x1 : x2
donde : indica multiplicación/interacción. De este modo hay dos maneras equivalentes de especificar el mismo modelo estadístico, una con el lado izquierdo y otra con el lado derecho. Siempre que estemos analizando datos de estudios factoriales debemos tomar en cuenta la posible existencia de interacciones.
2 Ajustando un modelo ANOVA de dos vías
En el modelo ANOVA de una vía aprendimos a hacer la suma de cuadrados de los tratamientos de un sólo factor (fertilizante, p. ej.). Sin embargo en ANOVA de dos vías es necesario hacer la suma de cuadrados de dos factores con sus tratamientos y las interacciones entre sí y comparar las sumas. La comparación de las sumas de cuadrados (\(SS\)) para ANOVA de dos vías tiene varias modalidades, la más utilizada y que se usa para diseños balanceados es \(SS-I\), la suma de cuadrados Tipo I. \(SS-I\) consiste en la suma secuencial de cuadrados de los tratamientos. Por ejemplo, si tenemos un experimento donde probamos el efecto de los tratamientos del factor \(A\) y el factor \(B\), \(SS-I\) consiste en hacer \(SS(A)\) y utilizarla como base para medir el efecto de los tratamientos del factor \(B\) (\(SS(B | A)\)). Para probar la interacción de \(A\) con \(B\), entonces se toma como referencia \(SS(B | A)\), de modo que \(SS(AB | B, A)\). Es por esta razón que \(SS-I\) recibe el nombre de suma de cuadrados secuencial, pues los efectos de los tratamientos se agregan uno tras el otro.
En R, \(SS-I\) está implementada por default, de modo que si queremos probar los efectos de los factores \(A\), \(B\) y \(AB\) con ANOVA, \(SS-I\) se puede hacer de las siguientes maneras:
Con el modelo completo
m <- aov(X ~ A * B, data = datos), yanova(m)Ajustando los modelos de manera secuencial:
2.1
m1 <- aov(X ~ A, data = datos)2.2
m2 <- aov(X ~ A + B, data = datos)2.3
m3 <- aov(X ~ A + B + A:B, data = datos)2.4
anova(m1, m2, m3)
\(SS-I\) tiene bastantes problemas pues los efectos que se estiman para los factores \(A\) y \(B\) dependen del orden en que los introduzcamos, por ejemplo A * B da resultados diferentes a B * A, pues el modelo base de comparación es el de \(SS(B)\) (la suma de cuadrados del factor \(B\)).
En la práctica, cuando los diseños están balanceados, \(SS-I\) y \(SS-II\) producen los mismos resultados, pero \(SS-II\) no tiene el problema que tiene \(SS-I\) por utilizar suma de cuadrados secuenciales. En los siguientes temas veremos cómo se pueden hacer ambos tipos de sumas de cuadrados con R.