### Intro

Asociación estadística:

*Probar la hipótesis de que dos variables se predicen mutuamente*

Asociación espacial:

*Variables con estructura espacial que se predicen mutuamente*

### Representación gráfica

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=4, fig.cap="Gráfico de dispersión de dos variables que se predicen mutuamente.", fig.align='center'}
set.seed(878)
x <- rnorm(100, mean = 10, sd = 2)
y <- x + rnorm(100, mean = -5, sd = 0.2)
plot(x, y, col = "red")
```

### Representación gráfica 

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=4, fig.cap="Gráfico de dispersión de dos variables que no se predicen mutuamente.", fig.align='center'}
y <- rnorm(100, mean = 10, sd = 1)
plot(x, y, col = "red")
```

### Medición de la asociación

- Prueba estadística por defecto: [Coeficiente de correlación de Pearson](https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_correlation_coefficient)

- Estima cociente de covarianza y producto de desviación estándar:

\begin{equation}
r_{X, Y} = \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}
\end{equation}

\begin{equation}
\mathrm{cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mu_x) (Y - \mu_y)]
\end{equation}

# Coeficiente de correlación paso a paso

### El caso no espacial

Comenzamos con dos variables $X$ y $Y$:

```{r echo = F}
df <- data.frame(x = x, y = y)
knitr::kable(head(df), caption = "Primeras seis filas de tabla que contiene *X* y *Y*.")
```

### Covarianza entre $X$ y $Y$

\begin{equation}
\mathrm{cov}(X, Y) = \mathbb{E}[(X - \mu_x) (Y - \mu_y)]
\end{equation}

De adentro de paréntesis:
- $\mu_x =$ Promedio de $X$; $\mu_y =$ Promedio de $Y$

- $\mu_x = 10.23; \mu_y = 10.22$

- Restamos $\mu$ de todos los valores de $X$ y $Y$

- $X^*=X - \mu_x; Y^*=Y - \mu_y$

### Covarianza entre $X$ y $Y$

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=8}
par(mfrow = c(1, 2))
hist(x, main = "Histograma de X", xlab = "X", ylab = "Frecuencia")
hist(x-mean(x), xlab = expression(X^"*"), main = "Histograma de X*", ylab = "Frecuencia")
```

### Covarianza entre $X$ y $Y$

Entonces las variables centradas quedan así:

```{r echo = F}
df.1 <- df
df.1$x <- df$x - mean(df$x)
df.1$y <- df$y - mean(df$y)
knitr::kable(head(df.1), caption = "Variables *X* y *Y* centradas (con media de 0).")
```


### Covarianza entre $X$ y $Y$

- Multiplicamos cada valor $X^*_i$ por su correspondiente $Y^*_i$

\begin{align*}
X^*_1 \times Y^*_1 =  & -3.668 \times -1.847 = & 6.776 \\
X^*_2 \times Y^*_2 =  & -0.85 \times -0.65 = & -0.553 \\
X^*_3 \times Y^*_3 =  & -0.211 \times -1.322 = & 0.279 \\
\vdots
\end{align*}

- Terminamos haciendo: $\frac{1}{n}\sum X^*_i Y^*_i$, es decir el promedio de los productos

### Producto de las desviaciones estándar

El denominador de la fórmula para la correlación es:

\begin{equation*}
\sigma_x \sigma_y
\end{equation*}

donde $\sigma$ indica la desviación estándar de la variable en el subíndice. Recordemos:

\begin{equation}
\sigma_x = \sqrt{\sum \frac{(X_i - \mu_x)^2}{n-1}}
\end{equation}

### Producto de las desviaciones estándar

Dado que ya contamos con $X_i - \mu_x$ y $Y_i - \mu_x$, sólo tenemos que hacer ${X^*}^2$:

\begin{align*}
{X^*_1}^2 & = 6.776^2 = & 45.92 \\
{X^*_2}^2 & = -0.553^2 = & 0.305 \\
{X^*_3}^2 & = 0.279^2 = & 0.077 \\
\vdots
\end{align*}

### Producto de las desviaciones estándar

Una vez, obtenidos ${X^*}^2$ y ${Y^*}^2$, las sumamos y dividimos entre $n-1 = 99$:

\begin{align*}
\sum {X^*_i}^2/99 & = 391.1758/99 = 3.951\\
\sum {Y^*_i}^2/99 & = 119.9985/99 = 1.191
\end{align*}

Y terminamos sacando las raíces cuadradas:

\begin{align*}
\sqrt{9.951} & = 1.987\\
\sqrt{1.191} & = 1.091
1.987 \times 1.091 & = 2.17
\end{align*}

### Cálculo final de $r$

Una vez obtenidos:

- $\mathrm{cov}(X, Y) = 0.166$
- $\sigma_x \sigma_y = 2.17$

Tenemos:

\begin{equation*}
 \frac{\mathrm{cov}(X, Y)}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{0.166}{2.17} = 0.091
\end{equation*}

*El resultado no es preciso por varias operaciones que obviaron decimales*

### Prueba de correlación en **R**

- Función para hacer prueba `cor.test`

- Uso:

```{r eval = F, echo = T}
cor.test(x, y)
```

- `x` y `y` son las variables $X$ y $X$

    - **Deben existir en el espacio de trabajo de R**

### Resultado de la prueba de correlación en **R**

```{r echo = T}
cor.test(x, y)
```

### Interpretación

- `t = 0.76948`, valor del estadístico T-Student

- `df = 98`, grados de libertad

- `p-value = 0.4435`, probabilidad de que $r = 0$

    - Probabilidad de que la correlación no exista
    
- `cor 0.0774955 `, valor del coeficiente de correlación estimado

### Limitaciones - Ejemplo

Relación entre poblaciones de mariposas, toneladas de pesticida y televisiones (Reino Unido)

- Toneladas de pesitida en aumento

- Densidad de mariposas disminuye

- Cantidad de licencias de televisión en aumento

### Limitaciones - Gráficos

Densidad de mariposas

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=6}
set.seed(4827)
mariposas <- sapply(seq(0, 1, len = 25), function(x){rpois(1, lambda = 400 * exp(-x*0.25))})
plot(1:25, mariposas, col = "red")
lines(1:25, mariposas, col = "red")
```

### Limitaciones - Gráficos

Uso de pesticidas

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=6, fig.cap="Porcentaje de área cubierta con pesticida."}
pesticida <- sapply(seq(0, 1, len = 25), function(x){rnorm(1, mean = 25 + 25 * (4 - 4 * exp(-0.25 * x)), sd = 3)})
plot(1:25, pesticida, col = "red")
lines(1:25, pesticida, col = "red")
```

### Limitaciones - Gráficos

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=6, fig.cap="Número mensual promedio de licencias de televisión vendidas."}
licencias <- sapply(seq(0, 1, len = 25), function(x){rnorm(1, mean = 1000 + 1000 * (1 - exp(-0.25 * x)), sd = 10)})
plot(1:25, licencias, col = "red")
lines(1:25, licencias, col = "red")
```

### Limitaciones - Correlaciones entre variables

```{r echo=F, fig.height=4, fig.width=4, fig.align='center'}
df.2 <- data.frame(mariposas = mariposas,
                   pesticida = pesticida,
                   licencias = licencias)
pairs(df.2, col = "red")
```

### Limitaciones - Coeficientes de correlación

```{r echo = F}
mat.cor <- cor(df.2)
knitr::kable(mat.cor, caption = "Matriz de correlación entre todas las variables.")
```


### Limitaciones - Conclusiones

La venta de licencias de televisión mata a las mariposas

### Limitaciones - Conclusiones

- La correlación no mide causa y efecto

- Correlación puede ocurrir al azar

- Sólo sirve para medir asociación

- Interpretación de asociación $\rightarrow$ Conocimiento del fenómeno estudiado

    - Es más probable que, aunque la correlación sea menor, la discminución sea producto del uso de pesticidas
